Funciones

Funciones

            Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x. En 1694 el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz utilizó el término para referirse a varios aspectos de una curva, como su pendiente. Hasta recientemente, su uso más generalizado ha sido el definido en 1829 por el matemático alemán, J.P.G. Lejeune-Dirichlet (1805-1859), quien escribió: "Una variable es un símbolo que representa un número dentro de un conjunto de ello.  Dos variables X y Y están asociadas de tal forma que al asignar un valor a X entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna automáticamente un valor a Y, se dice que Y es una función (unívoca) de X.  La variable X, a la que se asignan libremente valores, se llama variable independiente, mientras que la variable Y, cuyos valores dependen de la X, se llama variables dependientes.  Los valores permitidos de X constituyen el dominio de definición de la función y los valores  que toma Y constituye su recorrido".

            Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A à B

            Es decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:

             Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.

            La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.

            El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.

 

                En la imagen se muestra una función entre un conjunto de polígonos (A - Conjunto de Partida) y un conjunto de números (B - Conjunto de Llegada). A cada polígono le corresponde su número de lados.

 

Dominio de una función: Es el conjunto formado por los elementos que tienen imagen. Los valores que le damos a “X” ( variable independiente) forman el conjunto de partida. Gráficamente lo miramos en el eje horizontal ( abscisas), leyendo como escribimos de izquierda a derecha.

 

El dominio de una función está formado por aquellos valores de “X” (números reales) para los que se puede calcular la imagen f(x).

 

Rango de una función: Es el conjunto formado por las imágenes. Son los valores que toma la función "Y" (variable dependiente), por eso se denomina “f(x)”, su valor depende del valor que le demos a "X". Gráficamente lo miramos en el eje vertical (ordenadas), leyendo de abajo a arriba.

El Rango de una función es el conjunto formado por las imagenes f(x) de los valores de “X” que pertenecen al Dominio de dicha función.

 

 

 

 

 

 

 

Clasificación de funciones

Funciones algebraica

En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.

Las funciones algebraicas pueden ser:

Funciones explícita:

Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.

           f(x) = 5x − 2

Funciones implícita:

Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.

5x − y − 2 = 0

        Funciones polinómicas:

Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.

f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₂x³ +··· + a_nxⁿ

Su dominio es R, es decir, cualquier número real tiene imagen.

Funciones constantes:

          El criterio viene dado por un número real.

          f(x)= k

La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.

Funciones polinómica de primer grado:

f(x) = mx +n

Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.

Función afín

Función lineal.

Función identidad.

Funciones cuadráticas:

            f(x) = ax² + bx +c

Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.

 

Funciones a trozos:

Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.

          Funciones en valor absoluto.

Función parte entera de x.

Función mantisa.

Función signo.

 

    Funciones racionales:

El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:

El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.

 

Funciones radicales:

El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.

El dominio de una función irracional de índice impar es R.

El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.

 

Funciones trascendentes:

La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.

 

Función exponencial:

Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia a^x se llama función exponencial de base a y exponente x.

 

Funciones logarítmicas:

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.

 

Funciones trigonométricas:

Función seno:  f(x) = sen x

          Función coseno:  f(x) = cos x

          Función tangente: f(x) = tg x

           Función cosecante: f(x) = cosec x

           Función secante: f(x) = sec x

           Función cotangente: f(x) = cotg x

 

  Para obtener mayor información, visitar los siguientes enlaces:

 

       Funciones matemáticas

       Clasificación de las funciones

       Dominio y rango de una función

       Función Lineal

       Función Cuadrática

       Función Logarítmica

 

 

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